Задача №19072

Решите неравенство

$$\frac{1}{x}\ge \frac{1}{x-5}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{x-5}\ge 0.$$ $$\frac{(x-5)-x}{x(x-5)}\ge 0⟺\frac{-5}{x(x-5)}\ge 0.$$

Числитель $-5<0$ постоянен и в нуль не обращается, поэтому дробь неотрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:

$$x(x-5)<0.$$

Корни квадратного трёхчлена — $x=0$ и $x=5\text{;}$ ветви параболы направлены вверх, значит выражение отрицательно между корнями:

$$0<x<5.$$

Точки $x=0$ и $x=5$ исключены (при них знаменатель обращается в нуль). Проверка: при $x=1$ получаем $\frac{1}{1}=1\ge \frac{1}{1-5}=-0,25$ — верно.

Ответ: $x\in (0;5)\text{.}$