Постройте график функции y=4|x+6|-x^2-11x-30. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскрываем модуль. Функция y=4|x+6|-x^2-11x-30 распадается на два параболических куска. 1) При x>= -6: |x+6|=x+6, поэтому y=4(x+6)-x^2-11x-30=-x^2-7x-6. Это парабола ветвями вниз с вершиной x_0=-(-7)/(2*(-1))=-3,5, y_0=-(-3,5)^2-7*(-3,5)-6=6,25. Вершина (-3,5;6,25). 2) При x<-6: |x+6|=-(x+6), поэтому y=-4(x+6)-x^2-11x-30=-x^2-15x-54. Это парабола ветвями вниз с вершиной x_0=-7,5, y_0=-(-7,5)^2-15*(-7,5)-54=2,25. Вершина (-7,5;2,25). Стыковка. В точке x=-6 оба куска дают y=0, поэтому график непрерывен и проходит через (-6;0). Форма графика (слева направо): от -inf возрастает до локального максимума 2,25 при x=-7,5, убывает до локального минимума 0 при x=-6, возрастает до локального максимума 6,25 при x=-3,5, затем убывает к -inf. Считаем общие точки с прямой y=m: m<0 — 2 точки (по одной на крайних ветвях); m=0 — 3 точки: одна слева, точка минимума-стыка (-6;0) и одна справа; 0<m<2,25 — 4 точки; m=2,25 — 3 точки: касание в вершине (-7,5;2,25) плюс две точки на правых ветвях; 2,25<m<6,25 — 2 точки; m=6,25 — 1 точка (касание в вершине (-3,5;6,25)); m>6,25 — точек нет. Ровно три общие точки прямая y=m имеет при m=0 и при m=2,25. Ответ: m=0; m=2,25.

m=0; m=2,25