Задача №19069

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 5 и 20, $BD=10\text{.}$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD\text{,}$ $BC=5\text{,}$ $AD=20\text{,}$ $BD=10\text{.}$

Доказать: $△CBD\sim △BDA\text{.}$

Доказательство.

1. Так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то $BC\parallel AD\text{.}$ Диагональ $BD$ является секущей для этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы равны:

2. Найдём отношения сторон, прилежащих к этим углам. В треугольнике $CBD$ угол $\angle CBD$ заключён между сторонами $BC$ и $BD\text{,}$ в треугольнике $BDA$ угол $\angle BDA$ заключён между сторонами $DB$ и $DA\text{:}$

Значит,

3. Итак, две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны. По второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$ (соответствие вершин $C\to B\text{,}$ $B\to D\text{,}$ $D\to A$).

Ответ: треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны, что и требовалось доказать.

Треугольники CBD и BDA подобны (по двум сторонам и углу между ними: $\frac{CB}{BD}=\frac{BD}{DA}=\frac{1}{2}\text{,}$ $\angle CBD=\angle BDA$)