Задача №19064

Сторона равностороннего треугольника равна $16\sqrt{3}\text{.}$ Найдите медиану этого треугольника.

В равностороннем треугольнике медиана является одновременно высотой и биссектрисой.

Пусть сторона $a=16\sqrt{3}\text{,}$ медиана проведена к стороне $BC$ и делит её пополам: половина основания равна $\frac{a}{2}=8\sqrt{3}\text{.}$

Получившийся треугольник — прямоугольный, с гипотенузой $a$ и катетом $\frac{a}{2}\text{.}$ По теореме Пифагора

$$m=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Подставим $a=16\sqrt{3}\text{:}$

$$m=\frac{16\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{16\cdot 3}{2}=24.$$

Ответ: 24.