Задача №19059

Решите неравенство $(x^2+x-12)(x^2+x-20)\le 0.$

Разложим каждый квадратный трёхчлен на множители.

Для $x^2+x-12$ корни находим по теореме Виета: $-4$ и $3\text{,}$ значит $x^2+x-12=(x+4)(x-3)\text{.}$

Для $x^2+x-20$ корни $-5$ и $4\text{,}$ значит $x^2+x-20=(x+5)(x-4)\text{.}$

Неравенство принимает вид:

Отметим на числовой прямой нули множителей в порядке возрастания: $-5,-4,3,4\text{.}$ Все корни простые (кратности 1), поэтому знак произведения меняется при переходе через каждый из них. Справа от наибольшего корня ($x>4$) произведение положительно, далее знаки чередуются:

Нам нужны промежутки, где произведение $\le 0$ (отрицательно или равно нулю), — это $[-5;-4]$ и $[3;4]$ (концы включаем, так как неравенство нестрогое).

Ответ: $x\in [-5;-4]\cup [3;4]\text{.}$