Задача №19052

В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $114^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ACB\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Точки $B\text{,}$ $O\text{,}$ $D$ лежат на одной прямой (так как $BD$ — диаметр), поэтому углы $AOD$ и $AOB$ — смежные:

$$\angle AOB=180^{\circ }-\angle AOD=180^{\circ }-114^{\circ }=66^{\circ }.$$

Угол $AOB$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AB\text{,}$ значит дуга $AB$ (не содержащая точку $C$) равна $66^{\circ }\text{.}$

Угол $ACB$ — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $AB\text{.}$ По теореме о вписанном угле он вдвое меньше центрального:

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{66^{\circ }}{2}=33^{\circ }.$$

Проверка другим способом. Углы $BOC$ и $AOD$ — вертикальные, значит $\angle BOC=114^{\circ }\text{.}$ Треугольник $BOC$ равнобедренный ($OB=OC$ — радиусы), поэтому

$$\angle OCB=\frac{180^{\circ }-114^{\circ }}{2}=33^{\circ },$$

а так как точка $O$ лежит на отрезке $AC\text{,}$ то $\angle ACB=\angle OCB=33^{\circ }\text{.}$

Ответ: 33.