Задача №19040

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 6 и 24, $BD=12\text{.}$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Основания трапеции параллельны: $BC\parallel AD\text{.}$ Прямая $BD$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны:

Сравним стороны, прилежащие к этим равным углам. В треугольнике $CBD$ угол $CBD$ заключён между сторонами $BC$ и $BD\text{;}$ в треугольнике $BDA$ угол $BDA$ заключён между сторонами $BD$ и $DA\text{.}$ Найдём отношения соответственных сторон:

Значит

то есть стороны, образующие равные углы $\angle CBD$ и $\angle BDA\text{,}$ пропорциональны.

По признаку подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны (с коэффициентом $\frac{1}{2}$), причём $BC\leftrightarrow BD\text{,}$ $BD\leftrightarrow DA\text{.}$

Что и требовалось доказать.

Доказательство: треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по второму признаку (две пропорциональные стороны и равный угол между ними).