Задача №19025

Периметр треугольника равен 54, одна из сторон равна 15, а радиус вписанной в него окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Соединим центр $O$ вписанной окружности с вершинами треугольника. Треугольник разбивается на три треугольника с основаниями $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ и общей высотой, равной радиусу $r$ вписанной окружности (расстояние от центра до каждой стороны равно $r\text{,}$ так как стороны — касательные).

Поэтому

$$S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{1}{2}r(a+b+c)=r\cdot p,$$

где $p=\frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

По условию $P=54\text{,}$ значит $p=27\text{,}$ и $r=1\text{.}$ Тогда

$$S=1\cdot 27=27.$$

Длина одной из сторон ($15$) для ответа не нужна — это избыточное данное.

Ответ: 27.