!Треугольник с вписанной в него окружностью, касающейся всех трёх сторон Периметр треугольника равен 54, одна из сторон равна 15, а радиус вписанной в него окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Соединим центр O вписанной окружности с вершинами треугольника. Треугольник разбивается на три треугольника с основаниями a, b, c и общей высотой, равной радиусу r вписанной окружности (расстояние от центра до каждой стороны равно r, так как стороны — касательные). Поэтому S = (1)/(2)ar + (1)/(2)br + (1)/(2)cr = (1)/(2)r(a+b+c) = r* p, где p=(a+b+c)/(2) — полупериметр. По условию P = 54, значит p = 27, и r = 1. Тогда S = 1* 27 = 27. Длина одной из сторон (15) для ответа не нужна — это избыточное данное. Ответ: 27.

27