На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.

Обозначим AD=a, BC=b — основания трапеции, h — её высота (расстояние между прямыми AD и BC). Шаг 1. Средняя линия равноудалена от оснований. Пусть M и N — середины боковых сторон AB и CD, тогда MN — средняя линия трапеции, и MN AD BC. Опустим из M перпендикуляры на прямые AD и BC. Так как M — середина AB, то в прямоугольной трапеции (или по теореме о средней линии треугольника, если продлить боковые стороны до пересечения) расстояние от M до прямой AD равно расстоянию от M до прямой BC и равно (h)/(2). Строго: проведём через M прямую, параллельную основаниям, — это и есть прямая MN. Перпендикуляр AH к BC (AH=h) пересекает MN в точке P; в треугольнике ABH отрезок MP параллелен BH и M — середина AB, значит P — середина AH, то есть прямая MN делит высоту h пополам. Поэтому расстояние от любой точки прямой MN до прямой BC равно (h)/(2) и до прямой AD тоже равно (h)/(2) (расстояния от точек одной прямой до параллельной ей прямой равны). Шаг 2. Площади треугольников. Точка F лежит на средней линии, значит высота треугольника BFC, опущенная из F на сторону BC, равна (h)/(2), и высота треугольника AFD, опущенная из F на сторону AD, тоже равна (h)/(2): S_(BFC)=(1)/(2)* BC*(h)/(2)=(bh)/(4), S_(AFD)=(1)/(2)* AD*(h)/(2)=(ah)/(4). Шаг 3. Сумма и сравнение с площадью трапеции. S_(BFC)+S_(AFD)=(bh)/(4)+(ah)/(4)=((a+b)h)/(4). Площадь трапеции: S_(ABCD)=(a+b)/(2)* h, откуда (1)/(2)S_(ABCD)=((a+b)h)/(4)=S_(BFC)+S_(AFD). Заметим, что результат не зависит от положения точки F на средней линии. Ответ: сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции, что и требовалось доказать.

Доказательство