Задача №18994

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $F\text{.}$ Докажите, что сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна половине площади трапеции.

Обозначим $AD=a\text{,}$ $BC=b$ — основания трапеции, $h$ — её высота (расстояние между прямыми $AD$ и $BC$).

Шаг 1. Средняя линия равноудалена от оснований.

Пусть $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD\text{,}$ тогда $MN$ — средняя линия трапеции, и $MN\parallel AD\parallel BC\text{.}$ Опустим из $M$ перпендикуляры на прямые $AD$ и $BC\text{.}$ Так как $M$ — середина $AB\text{,}$ то в прямоугольной трапеции (или по теореме о средней линии треугольника, если продлить боковые стороны до пересечения) расстояние от $M$ до прямой $AD$ равно расстоянию от $M$ до прямой $BC$ и равно $\frac{h}{2}\text{.}$

Строго: проведём через $M$ прямую, параллельную основаниям, — это и есть прямая $MN\text{.}$ Перпендикуляр $AH$ к $BC$ ($AH=h$) пересекает $MN$ в точке $P\text{;}$ в треугольнике $ABH$ отрезок $MP$ параллелен $BH$ и $M$ — середина $AB\text{,}$ значит $P$ — середина $AH\text{,}$ то есть прямая $MN$ делит высоту $h$ пополам.

Поэтому расстояние от любой точки прямой $MN$ до прямой $BC$ равно $\frac{h}{2}$ и до прямой $AD$ тоже равно $\frac{h}{2}$ (расстояния от точек одной прямой до параллельной ей прямой равны).

Шаг 2. Площади треугольников.

Точка $F$ лежит на средней линии, значит высота треугольника $BFC\text{,}$ опущенная из $F$ на сторону $BC\text{,}$ равна $\frac{h}{2}\text{,}$ и высота треугольника $AFD\text{,}$ опущенная из $F$ на сторону $AD\text{,}$ тоже равна $\frac{h}{2}\text{:}$

Шаг 3. Сумма и сравнение с площадью трапеции.

Площадь трапеции: $S_{ABCD}=\frac{a+b}{2}\cdot h\text{,}$ откуда

Заметим, что результат не зависит от положения точки $F$ на средней линии.

Ответ: сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна половине площади трапеции, что и требовалось доказать.