Решите неравенство (x^2 + 3x - 18)(x^2 - 5x + 6) <= 0.

Разложим каждый квадратный трёхчлен на множители. Первый трёхчлен x^2+3x-18: по теореме Виета корни -6 и 3 (сумма -3, произведение -18), значит x^2+3x-18=(x+6)(x-3). Второй трёхчлен x^2-5x+6: корни 2 и 3 (сумма 5, произведение 6), значит x^2-5x+6=(x-2)(x-3). Неравенство принимает вид (x+6)(x-3)(x-2)(x-3)<= 0, то есть (x+6)(x-2)(x-3)^2<= 0. Множитель (x-3)^2>= 0 при всех x и обращается в нуль только при x=3. При x!= 3 он положителен, поэтому знак произведения определяется множителем (x+6)(x-2). Решаем (x+6)(x-2)<= 0. Это парабола с ветвями вверх и корнями -6 и 2, она не положительна между корнями: -6<= x<= 2. Отдельно проверяем x=3: тогда (x-3)^2=0 и всё произведение равно 0, что удовлетворяет нестрогому неравенству <= 0. Значит x=3 входит в ответ. Объединяя, получаем xin[-6;2]U3. Ответ: xin[-6;2]U3.

\(x \in [-6;\ 2] \cup \{3\}\)