Задача №18993

Решите неравенство

$$(x^2+3x-18)(x^2-5x+6)\le 0.$$

Разложим каждый квадратный трёхчлен на множители.

Первый трёхчлен $x^2+3x-18\text{:}$ по теореме Виета корни $-6$ и $3$ (сумма $-3\text{,}$ произведение $-18$), значит $x^2+3x-18=(x+6)(x-3)\text{.}$

Второй трёхчлен $x^2-5x+6\text{:}$ корни $2$ и $3$ (сумма $5\text{,}$ произведение $6$), значит $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\text{.}$

Неравенство принимает вид

$$(x+6)(x-3)(x-2)(x-3)\le 0,$$

то есть

$$(x+6)(x-2)(x-3{)}^2\le 0.$$

Множитель $(x-3{)}^2\ge 0$ при всех $x$ и обращается в нуль только при $x=3\text{.}$ При $x\ne 3$ он положителен, поэтому знак произведения определяется множителем $(x+6)(x-2)\text{.}$ Решаем

$$(x+6)(x-2)\le 0.$$

Это парабола с ветвями вверх и корнями $-6$ и $2\text{,}$ она не положительна между корнями:

$$-6\le x\le 2.$$

Отдельно проверяем $x=3\text{:}$ тогда $(x-3{)}^2=0$ и всё произведение равно $0\text{,}$ что удовлетворяет нестрогому неравенству $\le 0\text{.}$ Значит $x=3$ входит в ответ.

Объединяя, получаем $x\in [-6;2]\cup \{3\}\text{.}$

Ответ: $x\in [-6;2]\cup \{3\}\text{.}$