Задача №18984

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные $65^{\circ }$ и $50^{\circ }\text{.}$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Диагональ $BD$ делит угол $B$ параллелограмма на два угла: $\angle ABD=65^{\circ }$ (угол со стороной $AB$) и $\angle DBC=50^{\circ }$ (угол со стороной $BC$).

Значит,

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=65^{\circ }+50^{\circ }=115^{\circ }.$$

Соседние углы параллелограмма в сумме дают $180^{\circ }$ (односторонние углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AB$), поэтому

$$\angle BAD=180^{\circ }-115^{\circ }=65^{\circ }.$$

Противоположные углы параллелограмма равны, значит его углы равны $115^{\circ },65^{\circ },115^{\circ },65^{\circ }\text{.}$ Меньший из них равен $65^{\circ }\text{.}$

Ответ: $65\text{.}$