Задача №18976

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.

Пусть окружность с центром $O$ и радиусом $r=34$ вписана в равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $BC\parallel AD\text{.}$

Окружность касается обоих оснований: пусть $P$ — точка касания с $BC\text{,}$ а $Q$ — точка касания с $AD\text{.}$ Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OP\perp BC$ и $OQ\perp AD\text{.}$

Так как $BC\parallel AD\text{,}$ то отрезки $OP$ и $OQ$ перпендикулярны одной и той же паре параллельных прямых и лежат на одной прямой, проходящей через $O\text{.}$ Значит, $PQ$ — общий перпендикуляр к основаниям, то есть высота трапеции, и

$$h=PQ=OP+OQ=r+r=2r.$$

Отсюда

$$h=2\cdot 34=68.$$

Ответ: $68\text{.}$