!Равнобедренная трапеция с вписанной в неё окружностью, касающейся обоих оснований и обеих боковых сторон Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.

Пусть окружность с центром O и радиусом r=34 вписана в равнобедренную трапецию ABCD с основаниями BC AD. Окружность касается обоих оснований: пусть P — точка касания с BC, а Q — точка касания с AD. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому OP BC и OQ AD. Так как BC AD, то отрезки OP и OQ перпендикулярны одной и той же паре параллельных прямых и лежат на одной прямой, проходящей через O. Значит, PQ — общий перпендикуляр к основаниям, то есть высота трапеции, и h = PQ = OP + OQ = r + r = 2r. Отсюда h = 2 * 34 = 68. Ответ: 68.

68