Постройте график функции y=x|x|+2|x|-3x. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскроем модуль. При x >= 0 имеем |x| = x, поэтому y = x* x + 2x - 3x = x^2 - x. При x < 0 имеем |x| = -x, поэтому y = x*(-x) + 2(-x) - 3x = -x^2 - 5x. Итак, y = cases x^2 - x, & x >= 0, -x^2 - 5x, & x < 0.cases Строим график. Правая часть (x >= 0) — кусок параболы y = x^2 - x с ветвями вверх, нулями x = 0 и x = 1 и вершиной x_0 = (1)/(2), y_0 = 14 - 12 = -14 = -0,25. На [0;0,5] функция убывает от 0 до -0,25, на [0,5;+inf) возрастает до +inf. Левая часть (x < 0) — кусок параболы y = -x^2 - 5x с ветвями вниз, нулями x = -5 и x = 0 и вершиной x_0 = -(5)/(2) = -2,5, y_0 = -(25)/(4) + (25)/(2) = (25)/(4) = 6,25. На (-inf;-2,5] функция возрастает от -inf до 6,25, на [-2,5;0) убывает от 6,25 до 0 (значение 0 при x = 0 уже относится к правой ветви, где оно тоже достигается). В точке x = 0 обе формулы дают y = 0, график непрерывен. Считаем число общих точек с прямой y = m. Прямая y = m горизонтальна, поэтому число общих точек — это число решений уравнения f(x) = m. m > 6,25: левая ветвь не даёт решений (её максимум 6,25), правая — одно. Итого 1. m = 6,25: левая ветвь даёт одну точку (вершина x = -2,5), правая — одну. Итого 2. 0 <= m < 6,25: левая ветвь даёт две точки при 0 < m < 6,25 (на участке возрастания и на участке убывания), правая — одну; при m = 0 левая даёт одну (x=-5), правая — две (x = 0 и x = 1). В обоих случаях итого 3. -0,25 < m < 0: левая ветвь даёт одну точку (только участок возрастания), правая — две. Итого 3. m = -0,25: левая ветвь даёт одну точку, правая — одну (вершина x = 0,5). Итого 2. m < -0,25: правая ветвь решений не даёт, левая — одну. Итого 1. Ровно две общие точки получаются только при m = -0,25 и m = 6,25. Ответ: m = -0,25; m = 6,25.

m = -0,25; m = 6,25