Задача №18971

Постройте график функции

$y=x|x|+2|x|-3x\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Раскроем модуль.

При $x\ge 0$ имеем $|x|=x\text{,}$ поэтому

$$y=x\cdot x+2x-3x=x^2-x.$$

При $x<0$ имеем $|x|=-x\text{,}$ поэтому

$$y=x\cdot (-x)+2(-x)-3x=-x^2-5x.$$

Итак,

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-x,& x\ge 0,\\ -x^2-5x,& x<0.\end{array}$$

2. Строим график.

Правая часть ($x\ge 0$) — кусок параболы $y=x^2-x$ с ветвями вверх, нулями $x=0$ и $x=1$ и вершиной

$$x_0=\frac{1}{2},y_0=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}=-0,25.$$

На $[0;0,5]$ функция убывает от $0$ до $-0,25\text{,}$ на $[0,5;+\infty )$ возрастает до $+\infty \text{.}$

Левая часть ($x<0$) — кусок параболы $y=-x^2-5x$ с ветвями вниз, нулями $x=-5$ и $x=0$ и вершиной

$$x_0=-\frac{5}{2}=-2,5,y_0=-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}=\frac{25}{4}=6,25.$$

На $(-\infty ;-2,5]$ функция возрастает от $-\infty$ до $6,25\text{,}$ на $[-2,5;0)$ убывает от $6,25$ до $0$ (значение $0$ при $x=0$ уже относится к правой ветви, где оно тоже достигается).

В точке $x=0$ обе формулы дают $y=0\text{,}$ график непрерывен.

3. Считаем число общих точек с прямой $y=m\text{.}$

Прямая $y=m$ горизонтальна, поэтому число общих точек — это число решений уравнения $f(x)=m\text{.}$

• $m>6,25\text{:}$ левая ветвь не даёт решений (её максимум $6,25$), правая — одно. Итого 1.
• $m=6,25\text{:}$ левая ветвь даёт одну точку (вершина $x=-2,5$), правая — одну. Итого 2.
• $0\le m<6,25\text{:}$ левая ветвь даёт две точки при $0<m<6,25$ (на участке возрастания и на участке убывания), правая — одну; при $m=0$ левая даёт одну ($x=-5$), правая — две ($x=0$ и $x=1$). В обоих случаях итого 3.
• $-0,25<m<0\text{:}$ левая ветвь даёт одну точку (только участок возрастания), правая — две. Итого 3.
• $m=-0,25\text{:}$ левая ветвь даёт одну точку, правая — одну (вершина $x=0,5$). Итого 2.
• $m<-0,25\text{:}$ правая ветвь решений не даёт, левая — одну. Итого 1.

Ровно две общие точки получаются только при $m=-0,25$ и $m=6,25\text{.}$

Ответ: $m=-0,25\text{;}$ $m=6,25\text{.}$