Задача №18970

Постройте график функции

$y=4|x-3|-x^2+8x-15\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

1. Раскроем модуль.

Заметим, что $-x^2+8x-15=-(x-3)(x-5)\text{,}$ поэтому

$$y=4|x-3|-(x-3)(x-5).$$

Если $x\ge 3$, то $|x-3|=x-3$ и

$$y=(x-3)(4-(x-5))=(x-3)(9-x)=-x^2+12x-27.$$

Это часть параболы ветвями вниз с нулями $x=3$ и $x=9$ и вершиной $(6;9)$ (обе точки $3$ и $9$ попадают в область $x\ge 3$).

Если $x<3$, то $|x-3|=-(x-3)$ и

$$y=(x-3)(-4-(x-5))=(x-3)(1-x)=-x^2+4x-3.$$

Это часть параболы ветвями вниз с нулями $x=1$ и $x=3$ и вершиной $(2;1)\text{;}$ берётся только кусок с $x<3\text{.}$

В точке $x=3$ обе формулы дают $y=0\text{,}$ график непрерывен: это «двугорбая» линия с локальным максимумом $1$ при $x=2\text{,}$ «провалом» до $0$ при $x=3$ и максимумом $9$ при $x=6\text{.}$

2. Подсчёт общих точек с прямой $y=m\text{.}$

Левый кусок ($x<3$): уравнение $-x^2+4x-3=m$ даёт $x=2\pm \sqrt{1-m}\text{.}$

• при $m>1$ — решений нет;
• при $m=1$ — одно решение $x=2\text{;}$
• при $0<m<1$ — два решения (оба меньше $3\text{,}$ так как $\sqrt{1-m}<1$);
• при $m\le 0$ — корень $2+\sqrt{1-m}\ge 3$ не годится, остаётся одно решение $x=2-\sqrt{1-m}\text{.}$

Правый кусок ($x\ge 3$): уравнение $-x^2+12x-27=m$ даёт $x=6\pm \sqrt{9-m}\text{.}$

• при $m>9$ — решений нет;
• при $m=9$ — одно решение $x=6\text{;}$
• при $0\le m<9$ — два решения (оба лежат в $[3;9]$);
• при $m<0$ — корень $6-\sqrt{9-m}<3$ не годится, остаётся одно решение.

3. Итог. Общее число точек:

• $m<0\text{:}$ $1+1=2\text{;}$
• $m=0\text{:}$ $1+2=3$ — точки $(1;0)\text{,}$ $(3;0)\text{,}$ $(9;0)\text{;}$
• $0<m<1\text{:}$ $2+2=4\text{;}$
• $m=1\text{:}$ $1+2=3$ — точки $(2;1)$ и $(6\pm 2\sqrt{2};1)\text{;}$
• $1<m<9\text{:}$ $0+2=2\text{;}$
• $m=9\text{:}$ $1\text{;}$ $m>9\text{:}$ $0\text{.}$

Ровно три общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=0$ и при $m=1\text{.}$

Ответ: $m=0\text{;}$ $m=1\text{.}$