Постройте график функции y=4|x-3|-x^(2)+8x-15. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль. Заметим, что -x^(2)+8x-15=-(x-3)(x-5), поэтому y=4|x-3|-(x-3)(x-5). Если x>= 3, то |x-3|=x-3 и y=(x-3)(4-(x-5))=(x-3)(9-x)=-x^(2)+12x-27. Это часть параболы ветвями вниз с нулями x=3 и x=9 и вершиной (6;9) (обе точки 3 и 9 попадают в область x>= 3). Если x<3, то |x-3|=-(x-3) и y=(x-3)(-4-(x-5))=(x-3)(1-x)=-x^(2)+4x-3. Это часть параболы ветвями вниз с нулями x=1 и x=3 и вершиной (2;1); берётся только кусок с x<3. В точке x=3 обе формулы дают y=0, график непрерывен: это «двугорбая» линия с локальным максимумом 1 при x=2, «провалом» до 0 при x=3 и максимумом 9 при x=6. Подсчёт общих точек с прямой y=m. Левый кусок (x<3): уравнение -x^(2)+4x-3=m даёт x=2+-sqrt(1-m). при m>1 — решений нет; при m=1 — одно решение x=2; при 0<m<1 — два решения (оба меньше 3, так как sqrt(1-m)<1); при m<= 0 — корень 2+sqrt(1-m)>= 3 не годится, остаётся одно решение x=2-sqrt(1-m). Правый кусок (x>= 3): уравнение -x^(2)+12x-27=m даёт x=6+-sqrt(9-m). при m>9 — решений нет; при m=9 — одно решение x=6; при 0<= m<9 — два решения (оба лежат в [3;9]); при m<0 — корень 6-sqrt(9-m)<3 не годится, остаётся одно решение. Итог. Общее число точек: m<0: 1+1=2; m=0: 1+2=3 — точки (1;0), (3;0), (9;0); 0<m<1: 2+2=4; m=1: 1+2=3 — точки (2;1) и (6+- 2sqrt(2);1); 1<m<9: 0+2=2; m=9: 1; m>9: 0. Ровно три общие точки прямая y=m имеет при m=0 и при m=1. Ответ: m=0; m=1.

m = 0; m = 1