Задача №18962

Постройте график функции

$y=\{\begin{array}{l}{x}^2+2x+1\text{при}x⩾-4,\\ -\frac{36}{x}\text{при}x<-4.\end{array}$

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

1. Разбираем ветви.

При $x⩾-4\text{:}$ $y=x^2+2x+1=(x+1{)}^2$ — парабола с вершиной $(-1;0)\text{,}$ ветви вверх. На луче $[-4;+\infty )$ она убывает от $y(-4)=(-4+1{)}^2=9$ до $0$ при $x=-1\text{,}$ затем неограниченно возрастает. Точка $(-4;9)$ графику принадлежит (неравенство нестрогое).

При $x<-4\text{:}$ $y=-\frac{36}{x}$ — ветвь гиперболы. Так как $x<0\text{,}$ то $y=\frac{36}{|x|}>0\text{.}$ При $x\to -\infty$ имеем $y\to 0\text{,}$ при $x\to -4^{-}$ имеем $y\to \frac{36}{4}=9\text{,}$ причём значение $9$ не достигается (точка $(-4;9)$ выколота). На промежутке $(-\infty ;-4)$ функция монотонно возрастает, её множество значений — интервал $(0;9)\text{,}$ и каждое такое значение принимается ровно один раз.

2. Считаем общие точки с прямой $y=m\text{.}$

Парабола (при $x⩾-4$): уравнение $(x+1{)}^2=m$ при $m>0$ даёт $x=-1\pm \sqrt{m}\text{;}$ условие $x⩾-4$ для меньшего корня: $-1-\sqrt{m}⩾-4⟺\sqrt{m}⩽3⟺m⩽9\text{.}$ Итого:

• $m<0$ — $0$ точек;
• $m=0$ — $1$ точка ($x=-1$);
• $0<m⩽9$ — $2$ точки;
• $m>9$ — $1$ точка (остаётся только $x=-1+\sqrt{m}$).

Гипербола (при $x<-4$): $1$ точка при $0<m<9$ и $0$ точек при остальных $m\text{.}$

3. Складываем.

Одна или две общие точки получаются при $m=0$ и при $m⩾9\text{.}$

Ответ: $m=0\text{;}$ $m⩾9\text{.}$