Постройте график функции y=casesx^(2) +2x+1 при x - 4, - (36)/(x) при x<- 4.cases и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком одну или две общие точки.

Разбираем ветви. При x -4: y=x^(2)+2x+1=(x+1)^(2) — парабола с вершиной (-1;0), ветви вверх. На луче [-4;+inf) она убывает от y(-4)=(-4+1)^(2)=9 до 0 при x=-1, затем неограниченно возрастает. Точка (-4;9) графику принадлежит (неравенство нестрогое). При x<-4: y=-(36)/(x) — ветвь гиперболы. Так как x<0, то y=(36)/(|x|)>0. При x-inf имеем y 0, при x-4^(-) имеем y(36)/(4)=9, причём значение 9 не достигается (точка (-4;9) выколота). На промежутке (-inf;-4) функция монотонно возрастает, её множество значений — интервал (0;9), и каждое такое значение принимается ровно один раз. Считаем общие точки с прямой y=m. Парабола (при x-4): уравнение (x+1)^(2)=m при m>0 даёт x=-1+-sqrt(m); условие x-4 для меньшего корня: -1-sqrt(m)-4(m) 3 m 9. Итого: m<0 — 0 точек; m=0 — 1 точка (x=-1); 0<m 9 — 2 точки; m>9 — 1 точка (остаётся только x=-1+sqrt(m)). Гипербола (при x<-4): 1 точка при 0<m<9 и 0 точек при остальных m. Складываем. | m | парабола | гипербола | всего | |---|---|---|---| | m<0 | 0 | 0 | 0 | | m=0 | 1 | 0 | 1 | | 0<m<9 | 2 | 1 | 3 | | m=9 | 2 | 0 | 2 | | m>9 | 1 | 0 | 1 | Одна или две общие точки получаются при m=0 и при m 9. Ответ: m=0; m 9.

\(m = 0;\ m \ge 9\)