Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 78 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 7 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Пусть v (км/ч) — скорость первого автомобиля, а весь путь из A в B равен 2d км. Время первого автомобиля: t_1=(2d)/(v). Время второго автомобиля. Первую половину пути (d км) он ехал со скоростью 78 км/ч, вторую половину (d км) — со скоростью v+7 км/ч: t_2=(d)/(78)+(d)/(v+7). По условию автомобили прибыли в B одновременно и выехали одновременно, значит t_1=t_2: (2d)/(v)=(d)/(78)+(d)/(v+7). Разделив обе части на d>0, получаем (2)/(v)=(1)/(78)+(1)/(v+7), v>0. Умножим обе части на 78v(v+7)!= 0: 156(v+7)=v(v+7)+78v, 156v+1092=v^2+7v+78v, v^2-71v-1092=0. Дискриминант: D=71^2+4* 1092=5041+4368=9409=97^2, v=(71+- 97)/(2). Корни: v=84 и v=-13. Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи, значит v=84. Проверка: (2)/(84)=(1)/(42), а (1)/(78)+(1)/(91)=(7)/(546)+(6)/(546)=(13)/(546)=(1)/(42). Равенство верно. Ответ: 84 км/ч.

84