Задача №18947

Высота равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}\text{.}$ Найдите сторону этого треугольника.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a\text{,}$ а $BH$ — высота, проведённая к стороне $AC\text{.}$

В равностороннем (а значит, и равнобедренном) треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому $AH=HC=\frac{a}{2}\text{.}$

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора:

$$B{H}^2=A{B}^2-A{H}^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4},BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

По условию $BH=12\sqrt{3}\text{,}$ значит

$$\frac{a\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}⟹a=24.$$

Проверка: при $a=24$ высота равна $\frac{24\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$ — совпадает с условием.

Ответ: 24.