Задача №18939

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

2) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

3) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

Проверим каждое высказывание.

1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов. Истинно. По неравенству треугольника любая сторона меньше суммы двух других: $c<a+b\text{.}$ (Проверка через теорему Пифагора: $c^2=a^2+b^2<a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2\text{,}$ значит $c<a+b\text{.}$)

2) Любой прямоугольник можно вписать в окружность. Истинно. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому все четыре вершины равноудалены от этой точки — она и есть центр описанной окружности радиуса $R=\frac{d}{2}\text{,}$ где $d$ — диагональ. (Равносильно: сумма противоположных углов равна $90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }\text{.}$)

3) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую. Ложно: через любую точку плоскости проходит бесконечно много прямых. (Единственность прямой гарантируется лишь для двух различных точек.)

Истинны утверждения 1 и 2.

Ответ: 12