Решите уравнение x(x^(2)+2x+1)=6(x+1).

Задача №18934: Уравнения, неравенства и их системы

Свернём выражение в скобках по формуле квадрата суммы: $x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2} .$

Уравнение принимает вид

x (x + 1)^{2} = 6 (x + 1) .

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $(x + 1) :$

x (x + 1)^{2} - 6 (x + 1) = 0,

(x + 1) (x (x + 1) - 6) = 0,

(x + 1) (x^{2} + x - 6) = 0.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

1) $x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 .$

2) $x^{2} + x - 6 = 0 .$ Дискриминант $D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 25,$ $D = 5,$ откуда

x = \frac{- 1 \pm 5}{2} : x_{1} = 2, x_{2} = - 3.

Проверка подстановкой:

$x = - 1 :$ слева $- 1 \cdot (- 1 + 1)^{2} = 0,$ справа $6 \cdot 0 = 0$ — верно;
$x = 2 :$ слева $2 \cdot 3^{2} = 18,$ справа $6 \cdot 3 = 18$ — верно;
$x = - 3 :$ слева $- 3 \cdot (- 2)^{2} = - 12,$ справа $6 \cdot (- 2) = - 12$ — верно.

Ответ: $- 3; - 1; 2 .$