Задача №18932

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD\text{.}$ Радиус окружности с центром в точке $O\text{,}$ проходящей через вершину $A\text{,}$ равен 2. Найдите площадь квадрата $ABCD\text{.}$

Пусть сторона квадрата равна $a\text{.}$

Точка $O$ — середина стороны $CD\text{,}$ значит $OD=\frac{a}{2}\text{.}$

Треугольник $AOD$ прямоугольный ($\angle ADO=90^{\circ }\text{,}$ так как $AD\perp DC$ в квадрате). По теореме Пифагора:

$$O{A}^2=A{D}^2+O{D}^2=a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{5a^2}{4}.$$

Окружность с центром $O$ проходит через $A\text{,}$ поэтому $OA=2\text{,}$ то есть

$$\frac{5a^2}{4}=4⟹a^2=\frac{16}{5}=3,2.$$

Площадь квадрата равна $a^2=3,2\text{.}$

Ответ: $3,2\text{.}$