Задача №18918

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $51^{\circ }\text{,}$ угол $CAD$ равен $42^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ABC\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Луч $BD$ проходит внутри угла $ABC\text{,}$ поэтому

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC.$$

Вписанные углы $\angle DBC$ и $\angle DAC$ опираются на одну и ту же дугу $DC$ (не содержащую точек $A$ и $B$), значит они равны:

$$\angle DBC=\angle DAC=42^{\circ }.$$

Следовательно,

$$\angle ABC=51^{\circ }+42^{\circ }=93^{\circ }.$$

Проверка: для вписанного четырёхугольника $\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ }\text{,}$ откуда $\angle ADC=87^{\circ }$ — противоречий нет.

Ответ: $93\text{.}$