Задача №18917

На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC\text{.}$ Во сколько раз отрезок $AM$ короче отрезка $CM\text{?}$

Примем сторону клетки за $1\text{.}$

Точки $A\text{,}$ $M$ и $C$ лежат на одной прямой, причём по рисунку точка $M$ лежит на вертикальной линии сетки, отстоящей от вертикальной линии, проходящей через $A\text{,}$ на одну клетку, а вертикальная линия, проходящая через $C\text{,}$ отстоит от линии через $M$ на четыре клетки.

Проведём через $A\text{,}$ $M$ и $C$ вертикальные прямые сетки. Эти три прямые параллельны и пересекают прямую $AC$ в точках $A\text{,}$ $M\text{,}$ $C\text{,}$ а любую горизонтальную линию сетки — в точках, расстояния между которыми равны $1$ и $4$ клеткам. По обобщённой теореме Фалеса (параллельные прямые отсекают на двух секущих пропорциональные отрезки) получаем

$$\frac{AM}{MC}=\frac{1}{4}.$$

То же самое видно и из подобия: если через $A$ и $M$ провести горизонтальные отрезки до вертикали, проходящей через $C$ и $M$ соответственно, то образуются подобные прямоугольные треугольники с коэффициентом подобия $4$ (горизонтальные катеты равны $1$ и $4$).

Значит, $CM=4\cdot AM\text{,}$ то есть отрезок $AM$ короче отрезка $CM$ в $4$ раза.

Ответ: $4\text{.}$