Задача №18913

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M\text{,}$ $AD=16\text{,}$ $MD=4\text{,}$ $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC\text{.}$ Найдите $AH\text{.}$

Пусть $D$ — основание высоты $AD\text{,}$ тогда $AD\perp BC\text{,}$ и точки $A\text{,}$ $M\text{,}$ $D$ лежат на одной прямой (высоте).

Шаг 1. Соотношение из полуокружности.
Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC\text{,}$ поэтому угол $\angle BMC=90^{\circ }$ (вписанный угол, опирающийся на диаметр). Значит, $△BMC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $M\text{.}$ Отрезок $MD$ — высота этого прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $BC$ (ведь $MD$ лежит на прямой $AD\perp BC$). По свойству высоты прямоугольного треугольника (среднее геометрическое):

Подставляя $MD=4\text{,}$ получаем $BD\cdot DC=16.$

Шаг 2. Соотношение из ортоцентра.
Ортоцентр $H$ лежит на высоте $AD\text{.}$ Проведём высоту из вершины $B\text{;}$ она перпендикулярна $AC\text{.}$ Тогда $\angle HBD=90^{\circ }-\angle C\text{.}$ С другой стороны, в прямоугольном $△ADC$ имеем $\angle DAC=90^{\circ }-\angle C\text{.}$ Значит,

Прямоугольные треугольники $BDH$ и $ADC$ (прямые углы при $D$) подобны по двум углам, откуда

Шаг 3. Нахождение $AH\text{.}$
Из шагов 1 и 2: $AD\cdot DH=BD\cdot DC=16\text{.}$ Так как $AD=16\text{,}$ то

Точка $H$ лежит на отрезке $AD$ между $A$ и $D$ (для остроугольного треугольника ортоцентр внутри), поэтому

Ответ: $15\text{.}$