На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=16, MD=4, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Пусть D — основание высоты AD, тогда AD BC, и точки A, M, D лежат на одной прямой (высоте). Шаг 1. Соотношение из полуокружности. Точка M лежит на окружности с диаметром BC, поэтому угол BMC = 90^ (вписанный угол, опирающийся на диаметр). Значит, BMC прямоугольный с прямым углом при вершине M. Отрезок MD — высота этого прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу BC (ведь MD лежит на прямой AD BC). По свойству высоты прямоугольного треугольника (среднее геометрическое): MD^2 = BD * DC. Подставляя MD = 4, получаем BD * DC = 16. Шаг 2. Соотношение из ортоцентра. Ортоцентр H лежит на высоте AD. Проведём высоту из вершины B; она перпендикулярна AC. Тогда HBD = 90^ - C. С другой стороны, в прямоугольном ADC имеем DAC = 90^ - C. Значит, HBD = DAC. Прямоугольные треугольники BDH и ADC (прямые углы при D) подобны по двум углам, откуда (BD)/(AD) = (DH)/(DC) => BD * DC = AD * DH. Шаг 3. Нахождение AH. Из шагов 1 и 2: AD * DH = BD * DC = 16. Так как AD = 16, то DH = (16)/(AD) = (16)/(16) = 1. Точка H лежит на отрезке AD между A и D (для остроугольного треугольника ортоцентр внутри), поэтому AH = AD - DH = 16 - 1 = 15. Ответ: 15.

15