Задача №18912

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$
в точке $K\text{.}$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK=4\text{,}$ $CK=19\text{.}$

По условию $AK$ — биссектриса угла $A\text{,}$ поэтому $\angle BAK=\angle KAD\text{.}$

В параллелограмме $AD\parallel BC\text{,}$ а $AK$ — секущая. Углы $\angle KAD$ и $\angle AKB$ — накрест лежащие при параллельных прямых, значит $\angle AKB=\angle KAD\text{.}$

Отсюда $\angle BAK=\angle AKB\text{,}$ то есть треугольник $ABK$ равнобедренный с $AB=BK=4\text{.}$

Противоположные стороны параллелограмма равны, а $BC=BK+CK=4+19=23\text{.}$

Периметр:

Ответ: $54\text{.}$