Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60^ и 135^, а CD=36.

В трапеции ABCD основания BC и AD параллельны, а AB и CD — боковые стороны. Углы ABC и BCD прилежат к боковым сторонам и к основанию BC. Проведём высоты. Опустим перпендикуляры BH и CK на основание AD; тогда BH = CK = h — высота трапеции. Высота через сторону CD. Угол BCD = 135^ — это угол между основанием CB и боковой стороной CD. Угол наклона CD к прямой AD (параллельной BC) равен 180^ - 135^ = 45^. Из прямоугольного треугольника CKD: h = CD*sin 45^ = 36*(2)/(2) = 182. Высота через сторону AB. Угол ABC = 60^ — это угол между основанием BC и боковой стороной BA, поэтому вертикальная (перпендикулярная основанию) составляющая стороны AB равна h = AB*sin 60^ = AB*(3)/(2). Приравниваем высоты: AB*(3)/(2) = 182 =>AB = (362)/(3) = (362*3)/(3) = 126. Проверка: 126 ~ 29,4; тогда h = 126*(3)/(2) = 6sqrt(18) = 182 — совпадает с высотой, найденной по стороне CD. Ответ: AB = 126.

\(12\sqrt{6}\)