Задача №18909

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD\text{,}$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $60^{\circ }$ и $135^{\circ }\text{,}$ а $CD=36\text{.}$

В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Углы $ABC$ и $BCD$ прилежат к боковым сторонам и к основанию $BC\text{.}$

Проведём высоты. Опустим перпендикуляры $BH$ и $CK$ на основание $AD\text{;}$ тогда $BH=CK=h$ — высота трапеции.

Высота через сторону $CD\text{.}$ Угол $BCD=135^{\circ }$ — это угол между основанием $CB$ и боковой стороной $CD\text{.}$ Угол наклона $CD$ к прямой $AD$ (параллельной $BC$) равен $180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $CKD\text{:}$

Высота через сторону $AB\text{.}$ Угол $ABC=60^{\circ }$ — это угол между основанием $BC$ и боковой стороной $BA\text{,}$ поэтому вертикальная (перпендикулярная основанию) составляющая стороны $AB$ равна

Приравниваем высоты:

Проверка: $12\sqrt{6}\approx 29,4\text{;}$ тогда $h=12\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{18}=18\sqrt{2}$ — совпадает с высотой, найденной по стороне $CD\text{.}$

Ответ: $AB=12\sqrt{6}\text{.}$