Постройте график функции y=x^(2)+14x-3|x+8|+48 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль. При x >= -8: |x+8| = x+8, поэтому y = x^2 + 14x - 3(x+8) + 48 = x^2 + 11x + 24. Это парабола ветвями вверх с корнями x = -8 и x = -3 и вершиной в точке (-5,5; -6,25) (вершина попадает в область x >= -8). При x < -8: |x+8| = -(x+8), поэтому y = x^2 + 14x + 3(x+8) + 48 = x^2 + 17x + 72. Это парабола ветвями вверх с корнями x = -9 и x = -8 и вершиной в точке (-8,5; -0,25) (вершина попадает в область x < -8). В точке x = -8 обе формулы дают y = 0, график непрерывен. Строим график: левый кусок (при x < -8) — дуга параболы, идущая из +inf вниз до минимума -0,25 при x = -8,5 и вверх до точки (-8;0); правый кусок (при x >= -8) — дуга параболы из точки (-8;0) вниз до минимума -6,25 при x = -5,5 и далее вверх. Считаем число точек пересечения с прямой y = m. Левый кусок (x<-8) даёт: 0 точек при m < -0,25; 1 точку при m = -0,25; 2 точки при -0,25 < m < 0; 1 точку при m >= 0 (при m = 0 это x=-9, так как x=-8 относится к правому куску). Правый кусок (x >= -8) даёт: 0 точек при m < -6,25; 1 точку при m = -6,25; 2 точки при -6,25 < m <= 0 (при m=0 это x=-8 и x=-3); 1 точку при m > 0. Суммируем: m < -6,25 — 0 точек; m = -6,25 — 1 точка; -6,25 < m < -0,25 — 2 точки; m = -0,25 — 1 + 2 = 3 точки; -0,25 < m < 0 — 2 + 2 = 4 точки; m = 0 — 1 + 2 = 3 точки; m > 0 — 1 + 1 = 2 точки. Ровно три общие точки получаются при m = -0,25 и при m = 0. Ответ: m = -0,25; m = 0.

m = 0; m = -0,25