Постройте график функции y=x2+14x−3∣x+8∣+48 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
1. Раскроем модуль.
При x≥−8: ∣x+8∣=x+8, поэтому
y=x2+14x−3(x+8)+48=x2+11x+24.Это парабола ветвями вверх с корнями x=−8 и x=−3 и вершиной в точке (−5,5; −6,25) (вершина попадает в область x≥−8).
При x<−8: ∣x+8∣=−(x+8), поэтому
y=x2+14x+3(x+8)+48=x2+17x+72.Это парабола ветвями вверх с корнями x=−9 и x=−8 и вершиной в точке (−8,5; −0,25) (вершина попадает в область x<−8).
В точке x=−8 обе формулы дают y=0, график непрерывен.
2. Строим график: левый кусок (при x<−8) — дуга параболы, идущая из +∞ вниз до минимума −0,25 при x=−8,5 и вверх до точки (−8;0); правый кусок (при x≥−8) — дуга параболы из точки (−8;0) вниз до минимума −6,25 при x=−5,5 и далее вверх.
3. Считаем число точек пересечения с прямой y=m.
Левый кусок (x<−8) даёт: 0 точек при m<−0,25; 1 точку при m=−0,25; 2 точки при −0,25<m<0; 1 точку при m≥0 (при m=0 это x=−9, так как x=−8 относится к правому куску).
Правый кусок (x≥−8) даёт: 0 точек при m<−6,25; 1 точку при m=−6,25; 2 точки при −6,25<m≤0 (при m=0 это x=−8 и x=−3); 1 точку при m>0.
Суммируем:
Ровно три общие точки получаются при m=−0,25 и при m=0.
Ответ: m=−0,25; m=0.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Функции и начала анализа
ФИПИ