В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

Дано: выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором CDB = CAB. Доказать: BCA = BDA. Решение. Рассмотрим отрезок CB. Из вершины A он виден под углом CAB, а из вершины D — под углом CDB. По условию эти углы равны: CAB = CDB. Поскольку ABCD — выпуклый четырёхугольник с вершинами в порядке A,B,C,D, отрезок BC является его стороной, и обе точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC. Если две точки лежат по одну сторону от отрезка и видят его под равными углами, то они лежат на одной окружности, проходящей через концы этого отрезка (обратная теорема о вписанном угле: геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом и которые лежат по одну сторону от него, есть дуга окружности). Значит, точки A и D лежат на одной окружности, проходящей через B и C. Следовательно, все четыре точки A,B,C,D лежат на одной окружности, то есть ABCD — вписанный четырёхугольник. Теперь рассмотрим хорду AB этой окружности. Углы BCA (вершина C) и BDA (вершина D) — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AB (точки C и D лежат по одну сторону от прямой AB, так как ABCD выпуклый и AB — его сторона). Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, поэтому BCA = BDA. Что и требовалось доказать. Ответ: равенство BCA = BDA доказано.

Доказательство