Задача №18899

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $CDB$ и $CAB$ равны. Докажите, что углы $BCA$ и $BDA$ также равны.

Дано: выпуклый четырёхугольник $ABCD\text{,}$ в котором $\angle CDB=\angle CAB\text{.}$

Доказать: $\angle BCA=\angle BDA\text{.}$

Решение.

Рассмотрим отрезок $CB\text{.}$ Из вершины $A$ он виден под углом $\angle CAB\text{,}$ а из вершины $D$ — под углом $\angle CDB\text{.}$ По условию эти углы равны:

Поскольку $ABCD$ — выпуклый четырёхугольник с вершинами в порядке $A,B,C,D\text{,}$ отрезок $BC$ является его стороной, и обе точки $A$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $BC\text{.}$

Если две точки лежат по одну сторону от отрезка и видят его под равными углами, то они лежат на одной окружности, проходящей через концы этого отрезка (обратная теорема о вписанном угле: геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом и которые лежат по одну сторону от него, есть дуга окружности). Значит, точки $A$ и $D$ лежат на одной окружности, проходящей через $B$ и $C\text{.}$

Следовательно, все четыре точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности, то есть $ABCD$ — вписанный четырёхугольник.

Теперь рассмотрим хорду $AB$ этой окружности. Углы $\angle BCA$ (вершина $C$) и $\angle BDA$ (вершина $D$) — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AB$ (точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB\text{,}$ так как $ABCD$ выпуклый и $AB$ — его сторона). Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, поэтому

Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство $\angle BCA=\angle BDA$ доказано.