Задача №18863

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$
в точке $K\text{.}$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK=7\text{,}$ $CK=12\text{.}$

Пусть $AK$ — биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD\text{,}$ точка $K$ лежит на стороне $BC\text{,}$ причём $BK=7\text{,}$ $CK=12\text{.}$

1. В параллелограмме $AD\parallel BC\text{.}$ Прямая $AK$ — секущая при этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы равны:

2. Так как $AK$ — биссектриса угла $A\text{,}$ то

3. Из пунктов 1 и 2 получаем $\angle BAK=\angle AKB\text{,}$ значит, треугольник $ABK$ равнобедренный с основанием $AK\text{:}$

4. Сторона $BC=BK+KC=7+12=19\text{.}$ В параллелограмме противоположные стороны равны: $CD=AB=7\text{,}$ $AD=BC=19\text{.}$

5. Периметр параллелограмма:

Ответ: $52\text{.}$