Задача №18815

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $A{A}_1$ и $C{C}_1\text{.}$ Докажите, что углы $C{C}_1{A}_1$ и $CA{A}_1$ равны.

Пусть $A{A}_1$ и $C{C}_1$ — высоты остроугольного треугольника $ABC\text{,}$ то есть $A_1\in BC\text{,}$ $C_1\in AB$ и

Шаг 1. Четыре точки лежат на одной окружности.

Рассмотрим окружность, построенную на отрезке $AC$ как на диаметре. Точка лежит на этой окружности тогда и только тогда, когда отрезок $AC$ виден из неё под прямым углом.

Так как $\angle A{A}_{1}C=90^{\circ }\text{,}$ точка $A_1$ лежит на этой окружности. Так как $\angle A{C}_{1}C=90^{\circ }\text{,}$ точка $C_1$ тоже лежит на этой окружности. Значит, все четыре точки $A\text{,}$ $C_1\text{,}$ $A_1\text{,}$ $C$ лежат на одной окружности с диаметром $AC\text{.}$

Шаг 2. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Треугольник остроугольный, поэтому основания высот $A_1$ и $C_1$ лежат на самих сторонах $BC$ и $AB$ (а не на их продолжениях), и точки $A$ и $C_1$ лежат по одну сторону от прямой $C{A}_1\text{,}$ то есть на одной дуге, стягиваемой хордой $C{A}_1\text{.}$

Угол $C{C}_1{A}_1$ — вписанный угол с вершиной $C_1\text{,}$ опирающийся на дугу $C{A}_1$ (не содержащую $C_1$).

Угол $CA{A}_1$ — вписанный угол с вершиной $A\text{,}$ опирающийся на ту же дугу $C{A}_1\text{.}$

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Следовательно,

Ответ: углы $C{C}_1{A}_1$ и $CA{A}_1$ равны, что и требовалось доказать.

Доказательство: точки $A\text{,}$ $C_1\text{,}$ $A_1\text{,}$ $C$ лежат на окружности с диаметром $AC\text{,}$ поэтому вписанные углы $C{C}_1{A}_1$ и $CA{A}_1$ опираются на одну дугу $C{A}_1$ и равны.