В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA_1 и CC_1. Докажите, что углы CC_1A_1 и CAA_1 равны.

Пусть AA_1 и CC_1 — высоты остроугольного треугольника ABC, то есть A_1 in BC, C_1 in AB и AA_1C = 90^, AC_1C = 90^. Шаг 1. Четыре точки лежат на одной окружности. Рассмотрим окружность, построенную на отрезке AC как на диаметре. Точка лежит на этой окружности тогда и только тогда, когда отрезок AC виден из неё под прямым углом. Так как AA_1C = 90^, точка A_1 лежит на этой окружности. Так как AC_1C = 90^, точка C_1 тоже лежит на этой окружности. Значит, все четыре точки A, C_1, A_1, C лежат на одной окружности с диаметром AC. Шаг 2. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Треугольник остроугольный, поэтому основания высот A_1 и C_1 лежат на самих сторонах BC и AB (а не на их продолжениях), и точки A и C_1 лежат по одну сторону от прямой CA_1, то есть на одной дуге, стягиваемой хордой CA_1. Угол CC_1A_1 — вписанный угол с вершиной C_1, опирающийся на дугу CA_1 (не содержащую C_1). Угол CAA_1 — вписанный угол с вершиной A, опирающийся на ту же дугу CA_1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Следовательно, CC_1A_1 = CAA_1. Ответ: углы CC_1A_1 и CAA_1 равны, что и требовалось доказать. Доказательство: точки A, C_1, A_1, C лежат на окружности с диаметром AC, поэтому вписанные углы CC_1A_1 и CAA_1 опираются на одну дугу CA_1 и равны.

Доказательство