Задача №18805

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC\text{.}$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E\text{.}$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD\text{,}$ если $AD=8\text{,}$ $BC=4\text{.}$

Так как $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC$ и $AD\text{,}$ то $BC\parallel AD\text{.}$ Боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC\text{,}$ значит $AB\perp AD$ тоже.

Окружность касается прямой $AB$ в точке $E\text{,}$ поэтому по теореме об угле между касательной и хордой:

• угол между касательной $EB$ и хордой $EC$ равен вписанному углу, опирающемуся на $EC\text{:}$ $\angle BEC=\angle EDC\text{;}$
• угол между касательной $EA$ и хордой $ED$ равен вписанному углу, опирающемуся на $ED\text{:}$ $\angle AED=\angle ECD\text{.}$

Опустим перпендикуляр $EH$ на прямую $CD\text{;}$ искомое расстояние равно $EH\text{.}$

Первое подобие. Треугольники $EBC$ и $DHE$ прямоугольные ($\angle B=\angle H=90^{\circ }$), и $\angle BEC=\angle HDE$ (доказано выше). Значит, $△EBC\sim △DHE\text{,}$ откуда

Второе подобие. Треугольники $EAD$ и $CHE$ прямоугольные ($\angle A=\angle H=90^{\circ }$), и $\angle AED=\angle HCE$ (доказано выше). Значит, $△EAD\sim △CHE\text{,}$ откуда

Перемножим два выражения для $HE\text{:}$

Следовательно, $HE=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{.}$

Ответ: $4\sqrt{2}\text{.}$