В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=8, BC=4.

Так как ABCD — трапеция с основаниями BC и AD, то BC AD. Боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC, значит AB AD тоже. Окружность касается прямой AB в точке E, поэтому по теореме об угле между касательной и хордой: угол между касательной EB и хордой EC равен вписанному углу, опирающемуся на EC: BEC = EDC; угол между касательной EA и хордой ED равен вписанному углу, опирающемуся на ED: AED = ECD. Опустим перпендикуляр EH на прямую CD; искомое расстояние равно EH. Первое подобие. Треугольники EBC и DHE прямоугольные ( B = H = 90^), и BEC = HDE (доказано выше). Значит, EBC DHE, откуда (BC)/(HE) = (EC)/(DE) => HE = (BC * DE)/(EC). Второе подобие. Треугольники EAD и CHE прямоугольные ( A = H = 90^), и AED = HCE (доказано выше). Значит, EAD CHE, откуда (AD)/(HE) = (ED)/(CE) => HE = (AD * CE)/(ED). Перемножим два выражения для HE: HE^2 = (BC * DE)/(EC) * (AD * CE)/(ED) = BC * AD = 4 * 8 = 32. Следовательно, HE = sqrt(32) = 4sqrt(2). Ответ: 4sqrt(2).

\(4\sqrt{2}\)