Задача №18804

Постройте график функции

$y=\frac{(0,5x^2-0,5x)\cdot |x|}{x-1}\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком
ни одной общей точки.

1. Область определения. Знаменатель $x-1\ne 0\text{,}$ значит $x\ne 1\text{.}$

2. Упростим формулу. В числителе вынесем общий множитель:

$$0,5x^2-0,5x=0,5x(x-1).$$

Тогда при $x\ne 1$

$$y=\frac{0,5x(x-1)\cdot |x|}{x-1}=0,5x|x|.$$

3. Раскроем модуль.

$$y=\{\begin{array}{ll}0,5x^2,& x\ge 0,x\ne 1,\\ -0,5x^2,& x<0.\end{array}$$

График — правая ветвь параболы $y=0,5x^2$ (при $x\ge 0$) и левая ветвь параболы $y=-0,5x^2$ (при $x<0$), склеенные в начале координат. Точка с $x=1$ выколота: её ордината $y=0,5\cdot 1\cdot 1=0,5\text{,}$ то есть выколота точка $(1;0,5)\text{.}$

4. Множество значений. При $x<0$ функция принимает все значения из $(-\infty ;0)\text{;}$ при $x\ge 0$ функция $y=0,5x^2$ принимает все значения из $[0;+\infty )\text{,}$ кроме тех, что достигаются лишь при $x=1\text{.}$ Уравнение $0,5x^2=0,5$ при $x\ge 0$ даёт единственный корень $x=1\text{,}$ поэтому значение $y=0,5$ не достигается ни в одной точке графика (при $x<0$ значения отрицательны).

Итак, множество значений функции — все числа, кроме $0,5\text{.}$

5. Прямая $y=m\text{.}$ Горизонтальная прямая $y=m$ не пересекает график ровно тогда, когда $m$ не принадлежит множеству значений, то есть при $m=0,5\text{.}$

Ответ: $m=0,5\text{.}$