Постройте график функции y=((0,5x^(2) -0,5x)* |x|)/(x-1). Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Область определения. Знаменатель x-1!= 0, значит x!= 1. Упростим формулу. В числителе вынесем общий множитель: 0,5x^(2)-0,5x=0,5x(x-1). Тогда при x!= 1 y=(0,5x(x-1)*|x|)/(x-1)=0,5x|x|. Раскроем модуль. y=cases0,5x^(2), & x>= 0, x!= 1,[4pt] -0,5x^(2), & x<0.cases График — правая ветвь параболы y=0,5x^(2) (при x>= 0) и левая ветвь параболы y=-0,5x^(2) (при x<0), склеенные в начале координат. Точка с x=1 выколота: её ордината y=0,5* 1* 1=0,5, то есть выколота точка (1;0,5). Множество значений. При x<0 функция принимает все значения из (-inf;0); при x>= 0 функция y=0,5x^(2) принимает все значения из [0;+inf), кроме тех, что достигаются лишь при x=1. Уравнение 0,5x^(2)=0,5 при x>= 0 даёт единственный корень x=1, поэтому значение y=0,5 не достигается ни в одной точке графика (при x<0 значения отрицательны). Итак, множество значений функции — все числа, кроме 0,5. Прямая y=m. Горизонтальная прямая y=m не пересекает график ровно тогда, когда m не принадлежит множеству значений, то есть при m=0,5. Ответ: m=0,5.

m = 0,5