Задача №18800

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 28, а $\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{24}{7}\text{.}$ Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD\text{.}$ Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $OC=\frac{AC}{2}=\frac{28}{2}=14\text{,}$ а треугольник $BOC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $O\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $BOC\text{:}$

$$\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{BO}{OC}=\frac{24}{7}\Rightarrow BO=14\cdot \frac{24}{7}=48.$$

По теореме Пифагора сторона ромба равна

$$BC=\sqrt{O{C}^2+B{O}^2}=\sqrt{14^2+48^2}=\sqrt{196+2304}=\sqrt{2500}=50.$$

Центр вписанной в ромб окружности — точка $O$ (она равноудалена от всех сторон), значит радиус $r$ равен расстоянию от $O$ до стороны $BC\text{,}$ то есть высоте $OH$ прямоугольного треугольника $BOC\text{,}$ проведённой к гипотенузе:

$$r=OH=\frac{OB\cdot OC}{BC}=\frac{48\cdot 14}{50}=\frac{672}{50}=13,44.$$

Проверка: $S_{ABCD}=\frac{d_1{d}_2}{2}=\frac{28\cdot 96}{2}=1344\text{,}$ а $S=p\cdot r\text{,}$ где $p=\frac{4\cdot 50}{2}=100\text{,}$ откуда $r=\frac{1344}{100}=13,44\text{.}$

Ответ: $13,44\text{.}$