Диагональ AC ромба ABCD равна 28, а tg BCA = (24)/(7). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. !Ромб ABCD с вписанной окружностью и проведённой диагональю AC

Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому OC = (AC)/(2) = (28)/(2) = 14, а треугольник BOC — прямоугольный с прямым углом при вершине O. В прямоугольном треугольнике BOC: tg BCA = (BO)/(OC) = (24)/(7) =>BO = 14*(24)/(7) = 48. По теореме Пифагора сторона ромба равна BC = sqrt(OC^2 + BO^2) = sqrt(14^2 + 48^2) = sqrt(196 + 2304) = sqrt(2500) = 50. Центр вписанной в ромб окружности — точка O (она равноудалена от всех сторон), значит радиус r равен расстоянию от O до стороны BC, то есть высоте OH прямоугольного треугольника BOC, проведённой к гипотенузе: r = OH = (OB * OC)/(BC) = (48 * 14)/(50) = (672)/(50) = 13,44. Проверка: S_(ABCD) = (d_1 d_2)/(2) = (28* 96)/(2) = 1344, а S = p* r, где p = (4* 50)/(2) = 100, откуда r = (1344)/(100) = 13,44. Ответ: 13,44.

13,44