Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=13.

Точки P и K лежат на окружности с диаметром BH. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому BPH = 90^, BKH = 90^. Значит HP AB и HK CB. Рассмотрим четырёхугольник BPHK. В нём: PBK = ABC = 90^ (это прямой угол исходного треугольника, так как P лежит на AB, а K на CB); BPH = 90^; BKH = 90^. Сумма углов четырёхугольника равна 360^, поэтому четвёртый угол PHK = 360^ - 3* 90^ = 90^. Все четыре угла прямые, следовательно BPHK — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, а BH и PK — как раз его диагонали, поэтому PK = BH = 13. Ответ: 13.

13