Задача №18798

Точка $H$ является основанием высоты $BH\text{,}$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC\text{.}$ Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $PK\text{,}$ если $BH=13\text{.}$

Точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH\text{.}$ Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому

Значит $HP\perp AB$ и $HK\perp CB\text{.}$

Рассмотрим четырёхугольник $BPHK\text{.}$ В нём:

• $\angle PBK=\angle ABC=90^{\circ }$ (это прямой угол исходного треугольника, так как $P$ лежит на $AB\text{,}$ а $K$ на $CB$);
• $\angle BPH=90^{\circ }\text{;}$
• $\angle BKH=90^{\circ }\text{.}$

Сумма углов четырёхугольника равна $360^{\circ }\text{,}$ поэтому четвёртый угол $\angle PHK=360^{\circ }-3\cdot 90^{\circ }=90^{\circ }\text{.}$ Все четыре угла прямые, следовательно $BPHK$ — прямоугольник.

Диагонали прямоугольника равны, а $BH$ и $PK$ — как раз его диагонали, поэтому

Ответ: $13\text{.}$