Задача №18792

Укажите решение неравенства

$$(x+2)(x-10)>0.$$

1) $(-2;10)$

2) $(-\infty ;-2)\cup (10;+\infty )$

3) $(10;+\infty )$

4) $(-2;+\infty )$

Решаем неравенство $(x+2)(x-10)>0$ методом интервалов.

Нули левой части (корни соответствующего уравнения):

$$x+2=0\Rightarrow x=-2,x-10=0\Rightarrow x=10.$$

Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка. Выражение $(x+2)(x-10)$ — квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом (ветви параболы направлены вверх), поэтому оно положительно вне отрезка между корнями и отрицательно между ними.

Проверим знаки:

• при $x<-2$ (напр. $x=-3$): $(-1)\cdot (-13)=13>0$ — подходит;
• при $-2<x<10$ (напр. $x=0$): $(2)\cdot (-10)=-20<0$ — не подходит;
• при $x>10$ (напр. $x=11$): $(13)\cdot (1)=13>0$ — подходит.

Неравенство строгое, значит корни не включаются. Решение:

$$x\in (-\infty ;-2)\cup (10;+\infty ).$$

Этому множеству соответствует вариант 2.

Ответ: 2.