На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=9, MD=6, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Шаг 1. Полуокружность даёт прямой угол. Точка M лежит на полуокружности, построенной на BC как на диаметре, значит вписанный угол BMC=90^ (опирается на диаметр). Так как M лежит на высоте AD, а AD BC, отрезок MD BC, то есть MD — высота прямоугольного треугольника BMC, опущенная из вершины прямого угла M на гипотенузу BC. По свойству высоты прямоугольного треугольника (среднее геометрическое проекций катетов): MD^2 = BD* DC. Следовательно, BD* DC = 6^2 = 36. Шаг 2. Выразим HD через ортоцентр. Ортоцентр H лежит на высоте AD. Проведём высоту BB_1 AC; она проходит через H. В прямоугольном треугольнике BDH (прямой угол при D, ведь HD лежит на AD BC): HBD = 90^ - C, потому что BH AC, а угол между AC и BC равен C. Тогда HD = BD*tan( HBD) = BD*tan(90^- C) = BD*cot C. Из прямоугольного треугольника ADC: cot C = (DC)/(AD). Поэтому HD = BD*(DC)/(AD) = (BD* DC)/(AD) = (36)/(9) = 4. Шаг 3. Находим AH. Треугольник остроугольный, поэтому ортоцентр H лежит внутри, на отрезке AD между A и D: AH = AD - HD = 9 - 4 = 5. Ответ: 5.

5