Задача №18790

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M\text{,}$ $AD=9\text{,}$ $MD=6\text{,}$
$H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC\text{.}$ Найдите $AH\text{.}$

Шаг 1. Полуокружность даёт прямой угол.
Точка $M$ лежит на полуокружности, построенной на $BC$ как на диаметре, значит вписанный угол $\angle BMC=90^{\circ }$ (опирается на диаметр). Так как $M$ лежит на высоте $AD\text{,}$ а $AD\perp BC\text{,}$ отрезок $MD\perp BC\text{,}$ то есть $MD$ — высота прямоугольного треугольника $BMC\text{,}$ опущенная из вершины прямого угла $M$ на гипотенузу $BC\text{.}$

По свойству высоты прямоугольного треугольника (среднее геометрическое проекций катетов):

Следовательно, $BD\cdot DC=6^2=36.$

Шаг 2. Выразим $HD$ через ортоцентр.
Ортоцентр $H$ лежит на высоте $AD\text{.}$ Проведём высоту $B{B}_1\perp AC\text{;}$ она проходит через $H\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $BDH$ (прямой угол при $D\text{,}$ ведь $HD$ лежит на $AD\perp BC$):

потому что $BH\perp AC\text{,}$ а угол между $AC$ и $BC$ равен $\angle C\text{.}$

Тогда

Из прямоугольного треугольника $ADC\text{:}$ $\cot \angle C=\frac{DC}{AD}\text{.}$ Поэтому

Шаг 3. Находим $AH\text{.}$
Треугольник остроугольный, поэтому ортоцентр $H$ лежит внутри, на отрезке $AD$ между $A$ и $D\text{:}$

Ответ: $5\text{.}$