Задача №18789

Сторона равностороннего треугольника равна $20\sqrt{3}\text{.}$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a=20\sqrt{3}\text{,}$ а $O$ — центр вписанной окружности радиуса $r\text{.}$

Шаг 1. Высота равностороннего треугольника.
Высота $BH\text{,}$ опущенная на сторону $AC\text{,}$ является и медианой, поэтому $AH=\frac{a}{2}\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора:

$$h=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 2. Положение центра вписанной окружности.
В равностороннем треугольнике высоты, медианы и биссектрисы совпадают, значит центр вписанной окружности $O$ — точка пересечения медиан, которая делит медиану $BH$ в отношении $2:1$ от вершины. Расстояние от $O$ до стороны $AC$ и есть радиус:

$$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

Шаг 3. Подстановка.

$$r=\frac{20\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{6}=\frac{20\cdot 3}{6}=10.$$

Ответ: $10\text{.}$