Задача №18788

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M\text{.}$ Найдите $MC\text{,}$ если $AB=16\text{,}$ $DC=24\text{,}$ $AC=25\text{.}$

Так как $AB\parallel DC\text{,}$ а прямые $AC$ и $BD$ являются секущими, то $\angle BAM=\angle DCM$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AC$). Углы $\angle AMB$ и $\angle CMD$ равны как вертикальные.

Значит, треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам, причём вершине $A$ соответствует вершина $C\text{,}$ вершине $B$ — вершина $D\text{.}$ Коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон:

Сходственными являются также стороны $AM$ и $CM\text{,}$ поэтому

Точка $M$ лежит на отрезке $AC\text{,}$ значит $AM+MC=AC=25\text{.}$ Обозначим $MC=x\text{,}$ тогда $AM=\frac{2}{3}x$ и

Ответ: $MC=15\text{.}$