Задача №18780

Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Пусть в трапеции $ABCD$ основания $BC=1$ и $AD=19\text{,}$ а $MN$ — средняя линия ($M$ — середина боковой стороны $AB\text{,}$ $N$ — середина $CD$). Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию в точке $P\text{.}$

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, поэтому $MP\parallel BC$ в треугольнике $ABC\text{.}$ Так как $M$ — середина $AB\text{,}$ то по теореме Фалеса $P$ — середина $AC\text{,}$ а $MP$ — средняя линия треугольника $ABC\text{:}$

$$MP=\frac{BC}{2}=\frac{1}{2}=0,5.$$

2. В треугольнике $ACD$ точка $P$ — середина $AC\text{,}$ точка $N$ — середина $CD\text{,}$ значит $PN$ — средняя линия этого треугольника:

$$PN=\frac{AD}{2}=\frac{19}{2}=9,5.$$

Проверка: $MP+PN=0,5+9,5=10=\frac{1+19}{2}$ — длина средней линии трапеции.

Больший из отрезков равен $9,5\text{.}$

Ответ: $9,5\text{.}$