Задача №18775

Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $E\text{.}$ Докажите, что сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади параллелограмма.

Пусть $BC=AD=a$ (противоположные стороны параллелограмма равны), а $h$ — расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $AD\text{,}$ то есть высота параллелограмма, проведённая к стороне $AD\text{.}$ Тогда

Опустим из точки $E$ перпендикуляры $EP$ и $EQ$ на прямые $BC$ и $AD$ соответственно; обозначим $EP=h_1\text{,}$ $EQ=h_2\text{.}$

Шаг 1. Сумма расстояний. Прямые $BC$ и $AD$ параллельны, поэтому перпендикуляры $EP$ и $EQ$ к ним лежат на одной прямой, проходящей через $E$ перпендикулярно $AD\text{.}$ Точка $E$ лежит внутри параллелограмма, значит она лежит между прямыми $BC$ и $AD\text{,}$ и точка $E$ лежит между точками $P$ и $Q\text{.}$ Отрезок $PQ$ — общий перпендикуляр к двум параллельным прямым, поэтому $PQ=h\text{.}$ Следовательно,

Шаг 2. Площади треугольников. В треугольнике $BEC$ сторона $BC=a\text{,}$ а высота, проведённая к ней из вершины $E\text{,}$ равна $EP=h_1$ (расстояние от $E$ до прямой $BC$). Значит

Аналогично в треугольнике $AED$ сторона $AD=a\text{,}$ высота из $E$ равна $EQ=h_2\text{,}$ поэтому

Шаг 3. Сложение.

Что и требовалось доказать.

Ответ: сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади параллелограмма $ABCD\text{.}$

Доказательство: $S_{BEC}+S_{AED}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}$