Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Пусть BC = AD = a (противоположные стороны параллелограмма равны), а h — расстояние между параллельными прямыми BC и AD, то есть высота параллелограмма, проведённая к стороне AD. Тогда S_(ABCD) = a* h. Опустим из точки E перпендикуляры EP и EQ на прямые BC и AD соответственно; обозначим EP = h_1, EQ = h_2. Шаг 1. Сумма расстояний. Прямые BC и AD параллельны, поэтому перпендикуляры EP и EQ к ним лежат на одной прямой, проходящей через E перпендикулярно AD. Точка E лежит внутри параллелограмма, значит она лежит между прямыми BC и AD, и точка E лежит между точками P и Q. Отрезок PQ — общий перпендикуляр к двум параллельным прямым, поэтому PQ = h. Следовательно, h_1 + h_2 = EP + EQ = PQ = h. Шаг 2. Площади треугольников. В треугольнике BEC сторона BC = a, а высота, проведённая к ней из вершины E, равна EP = h_1 (расстояние от E до прямой BC). Значит S_(BEC) = 12ah_1. Аналогично в треугольнике AED сторона AD = a, высота из E равна EQ = h_2, поэтому S_(AED) = 12ah_2. Шаг 3. Сложение. S_(BEC) + S_(AED) = 12ah_1 + 12ah_2 = 12a(h_1 + h_2) = 12ah = 12S_(ABCD). Что и требовалось доказать. Ответ: сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма ABCD. Доказательство: S_(BEC)+S_(AED)=12 S_(ABCD)

Доказательство