Задача №18774

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 4 и 64, $BD=16\text{.}$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, поэтому прямая $BD$ является секущей для параллельных прямых $BC$ и $AD\text{.}$

Угол. Накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC\parallel AD$ и секущей $BD$ равны:

Стороны. Найдём отношения сторон, прилежащих к этим углам. В треугольнике $CBD$ угол $\angle CBD$ заключён между сторонами $BC$ и $BD\text{,}$ а в треугольнике $BDA$ угол $\angle BDA$ заключён между сторонами $DB$ и $DA\text{.}$ Подставляя $BC=4\text{,}$ $BD=16\text{,}$ $AD=64\text{:}$

Значит, $\frac{BC}{DB}=\frac{BD}{DA}\text{,}$ то есть стороны, образующие равные углы, пропорциональны.

Вывод. По второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними) треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны:

Ответ: треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны, что и требовалось доказать.