Задача №18773

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $92^{\circ }\text{,}$ угол $CAD$ равен $60^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ABD\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, значит суммы его противоположных углов равны $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle ADC=180^{\circ }-\angle ABC=180^{\circ }-92^{\circ }=88^{\circ }.$$

Рассмотрим треугольник $ACD\text{.}$ В нём известны два угла: $\angle CAD=60^{\circ }$ и $\angle ADC=88^{\circ }\text{,}$ поэтому

$$\angle ACD=180^{\circ }-60^{\circ }-88^{\circ }=32^{\circ }.$$

Углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $AD$ (точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от хорды $AD$), значит они равны:

$$\angle ABD=\angle ACD=32^{\circ }.$$

Ответ: $32\text{.}$