Постройте график функции y=x|x|+3|x|-5x. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскроем модуль. При x >= 0: |x| = x, поэтому y = x* x + 3x - 5x = x^2 - 2x. Это часть параболы ветвями вверх с вершиной (1;-1); нули: x=0 и x=2. При x < 0: |x| = -x, поэтому y = -x^2 - 3x - 5x = -x^2 - 8x. Это часть параболы ветвями вниз с вершиной (-4;16); нули: x=0 и x=-8. График — объединение двух парабольных дуг, склеенных в точке (0;0). Сколько корней даёт каждая дуга при данном m. Правая дуга (x >= 0): x^2 - 2x = m x = 1 +- sqrt(1+m). m < -1 — корней нет; m = -1 — один корень x=1; -1 < m <= 0 — оба корня неотрицательны, два корня; m > 0 — корень 1-sqrt(1+m) < 0 не годится, остаётся один. Левая дуга (x < 0): -x^2 - 8x = m x^2 + 8x + m = 0 x = -4 +- sqrt(16-m). m > 16 — корней нет; m = 16 — один корень x=-4; 0 < m < 16 — оба корня отрицательны, два корня; m <= 0 — корень -4+sqrt(16-m) >= 0 не годится, остаётся один. Суммируем. | m | левая | правая | всего | |---|---|---|---| | m < -1 | 1 | 0 | 1 | | m = -1 | 1 | 1 | 2 | | -1 < m <= 0 | 1 | 2 | 3 | | 0 < m < 16 | 2 | 1 | 3 | | m = 16 | 1 | 1 | 2 | | m > 16 | 0 | 1 | 1 | Проверка граничных случаев: при m=-1 общие точки — (1;-1) и (-4-sqrt(17);-1); при m=16 — вершина левой дуги (-4;16) и точка (1+sqrt(17);16). Ровно две общие точки прямая y=m имеет только при m=-1 (касание вершины правой дуги) и при m=16 (касание вершины левой дуги). Ответ: m=-1; m=16.

m = -1; m = 16