Задача №18771

Постройте график функции

$y=x|x|+3|x|-5x\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Раскроем модуль.

При $x\ge 0\text{:}$ $|x|=x\text{,}$ поэтому

$$y=x\cdot x+3x-5x=x^2-2x.$$

Это часть параболы ветвями вверх с вершиной $(1;-1)\text{;}$ нули: $x=0$ и $x=2\text{.}$

При $x<0\text{:}$ $|x|=-x\text{,}$ поэтому

$$y=-x^2-3x-5x=-x^2-8x.$$

Это часть параболы ветвями вниз с вершиной $(-4;16)\text{;}$ нули: $x=0$ и $x=-8\text{.}$

График — объединение двух парабольных дуг, склеенных в точке $(0;0)\text{.}$

2. Сколько корней даёт каждая дуга при данном $m\text{.}$

Правая дуга ($x\ge 0$): $x^2-2x=m⟺x=1\pm \sqrt{1+m}\text{.}$

• $m<-1$ — корней нет;
• $m=-1$ — один корень $x=1\text{;}$
• $-1<m\le 0$ — оба корня неотрицательны, два корня;
• $m>0$ — корень $1-\sqrt{1+m}<0$ не годится, остаётся один.

Левая дуга ($x<0$): $-x^2-8x=m⟺x^2+8x+m=0⟺x=-4\pm \sqrt{16-m}\text{.}$

• $m>16$ — корней нет;
• $m=16$ — один корень $x=-4\text{;}$
• $0<m<16$ — оба корня отрицательны, два корня;
• $m\le 0$ — корень $-4+\sqrt{16-m}\ge 0$ не годится, остаётся один.

3. Суммируем.

Проверка граничных случаев: при $m=-1$ общие точки — $(1;-1)$ и $(-4-\sqrt{17};-1)\text{;}$ при $m=16$ — вершина левой дуги $(-4;16)$ и точка $(1+\sqrt{17};16)\text{.}$

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет только при $m=-1$ (касание вершины правой дуги) и при $m=16$ (касание вершины левой дуги).

Ответ: $m=-1\text{;}$ $m=16\text{.}$