Задача №18770

Сторона равностороннего треугольника равна $8\sqrt{3}\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a=8\sqrt{3}\text{,}$ а $R$ — радиус описанной около него окружности.

Все углы равностороннего треугольника равны $60^{\circ }\text{.}$ По теореме синусов для треугольника, вписанного в окружность радиуса $R\text{:}$

$$\frac{a}{\sin \angle A}=2R.$$

Отсюда

$$R=\frac{a}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Подставим $a=8\sqrt{3}\text{:}$

$$R=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=8.$$

Ответ: $8\text{.}$