Задача №18754

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $28^{\circ }$ и $82^{\circ }\text{.}$ Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $BC\parallel AD\text{,}$ где $AD$ — большее основание, а $AC$ — проведённая диагональ. По условию углы диагонали с боковыми сторонами равны: $\angle BAC=28^{\circ }$ и $\angle ACD=82^{\circ }\text{.}$

Шаг 1. Обозначим $\angle CAD=x\text{.}$ Из треугольника $ACD\text{:}$

$$\angle ADC=180^{\circ }-\angle ACD-\angle CAD=180^{\circ }-82^{\circ }-x.$$

Шаг 2. Угол при большем основании у вершины $A$ равен

$$\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=28^{\circ }+x.$$

Шаг 3. Трапеция равнобедренная, поэтому углы при большем основании равны: $\angle BAD=\angle ADC\text{.}$ Значит

$$28^{\circ }+x=180^{\circ }-82^{\circ }-x⟹2x=70^{\circ }⟹x=35^{\circ }.$$

Шаг 4. Тогда

$$\angle BAD=28^{\circ }+35^{\circ }=63^{\circ }.$$

Проверка: $\angle ADC=180^{\circ }-82^{\circ }-35^{\circ }=63^{\circ }$ — углы при основании $AD$ равны, а углы при меньшем основании равны $180^{\circ }-63^{\circ }=117^{\circ }\text{,}$ что больше $90^{\circ }\text{,}$ — значит $AD$ действительно большее основание.

Ответ: $63\text{.}$