Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.

Пусть AB = a. По условию AD = 2AB = 2a, а M — середина AD, значит AM = MD = (AD)/(2) = a = AB. Шаг 1. Треугольник ABM равнобедренный. В треугольнике ABM стороны AB и AM равны, поэтому углы при основании BM равны: ABM = AMB. Шаг 2. Накрест лежащие углы. В параллелограмме ABCD стороны AD и BC параллельны. Прямая BM — секущая для параллельных прямых AD и BC, поэтому углы AMB и MBC — накрест лежащие, а значит AMB = MBC. Шаг 3. Вывод. Из шагов 1 и 2 получаем ABM = AMB = MBC, то есть луч BM делит угол ABC на два равных угла ABM и MBC. Кроме того, точка M лежит на стороне AD, поэтому луч BM проходит внутри угла ABC. Следовательно, BM — биссектриса угла ABC, что и требовалось доказать. Ответ: доказано.

Доказательство