Задача №18750

Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB\text{.}$
Точка $M$ — середина стороны $AD\text{.}$ Докажите, что $BM$ — биссектриса
угла $ABC\text{.}$

Пусть $AB=a\text{.}$ По условию $AD=2AB=2a\text{,}$ а $M$ — середина $AD\text{,}$ значит

Шаг 1. Треугольник $ABM$ равнобедренный.
В треугольнике $ABM$ стороны $AB$ и $AM$ равны, поэтому углы при основании $BM$ равны:

Шаг 2. Накрест лежащие углы.
В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Прямая $BM$ — секущая для параллельных прямых $AD$ и $BC\text{,}$ поэтому углы $\angle AMB$ и $\angle MBC$ — накрест лежащие, а значит

Шаг 3. Вывод.
Из шагов 1 и 2 получаем

то есть луч $BM$ делит угол $ABC$ на два равных угла $\angle ABM$ и $\angle MBC\text{.}$ Кроме того, точка $M$ лежит на стороне $AD\text{,}$ поэтому луч $BM$ проходит внутри угла $ABC\text{.}$

Следовательно, $BM$ — биссектриса угла $ABC\text{,}$ что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.