Задача №18747

Постройте график функции

$y=x^2+3x-4|x+2|+2\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль. Выражение $x+2$ меняет знак в точке $x=-2\text{.}$

1) При $x\ge -2\text{:}$ $|x+2|=x+2\text{,}$ поэтому

$$y=x^2+3x-4(x+2)+2=x^2-x-6.$$

Это парабола ветвями вверх с вершиной в точке $x=\frac{1}{2}\text{,}$ $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}-6=-6,25\text{,}$ то есть вершина $\left(0,5;-6,25\right)\text{.}$ Нули: $x=-2$ и $x=3\text{.}$ Берём её часть при $x\ge -2\text{:}$ она идёт из точки $(-2;0)$ вниз до вершины $(0,5;-6,25)\text{,}$ затем вверх.

2) При $x<-2\text{:}$ $|x+2|=-(x+2)\text{,}$ поэтому

$$y=x^2+3x+4(x+2)+2=x^2+7x+10.$$

Это парабола ветвями вверх с вершиной $x=-3,5\text{,}$ $y=(-3,5{)}^2+7\cdot (-3,5)+10=-2,25\text{,}$ то есть вершина $\left(-3,5;-2,25\right)\text{.}$ Нули: $x=-5$ и $x=-2\text{.}$ Берём её часть при $x<-2\text{:}$ из бесконечности вниз до вершины $(-3,5;-2,25)$ и вверх до выколотой точки $(-2;0)$ (сама точка $(-2;0)$ принадлежит графику по первой ветви, так что разрыва нет).

Итак, график — «двугорбая» линия с двумя минимумами $y=-6,25$ (при $x=0,5$) и $y=-2,25$ (при $x=-3,5$) и локальным максимумом $y=0$ в точке $x=-2\text{.}$

Подсчёт числа общих точек с прямой $y=m\text{:}$

• $m<-6,25$ — общих точек нет;
• $m=-6,25$ — 1 точка (правая вершина);
• $-6,25<m<-2,25$ — 2 точки (обе на правой ветви);
• $m=-2,25$ — 2 точки на правой ветви и 1 точка (левая вершина) — итого 3 точки;
• $-2,25<m<0$ — 2 точки справа и 2 точки слева, итого 4;
• $m=0$ — слева ровно 1 точка ($x=-5$), справа 2 точки ($x=-2$ и $x=3$) — итого 3 точки;
• $m>0$ — 1 точка слева и 1 справа, итого 2.

Ровно три общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=-2,25$ (уровень левой вершины) и при $m=0$ (уровень «стыка» ветвей).

Ответ: $m=-2,25\text{;}$ $m=0\text{.}$