Постройте график функции y=x^(2)+3x-4|x+2|+2. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль. Выражение x+2 меняет знак в точке x=-2. 1) При x>= -2: |x+2|=x+2, поэтому y=x^(2)+3x-4(x+2)+2=x^(2)-x-6. Это парабола ветвями вверх с вершиной в точке x=(1)/(2), y=(12)^(2)-12-6=-6,25, то есть вершина (0,5;-6,25). Нули: x=-2 и x=3. Берём её часть при x>= -2: она идёт из точки (-2;0) вниз до вершины (0,5;-6,25), затем вверх. 2) При x< -2: |x+2|=-(x+2), поэтому y=x^(2)+3x+4(x+2)+2=x^(2)+7x+10. Это парабола ветвями вверх с вершиной x=-3,5, y=(-3,5)^(2)+7*(-3,5)+10=-2,25, то есть вершина (-3,5;-2,25). Нули: x=-5 и x=-2. Берём её часть при x<-2: из бесконечности вниз до вершины (-3,5;-2,25) и вверх до выколотой точки (-2;0) (сама точка (-2;0) принадлежит графику по первой ветви, так что разрыва нет). Итак, график — «двугорбая» линия с двумя минимумами y=-6,25 (при x=0,5) и y=-2,25 (при x=-3,5) и локальным максимумом y=0 в точке x=-2. Подсчёт числа общих точек с прямой y=m: m<-6,25 — общих точек нет; m=-6,25 — 1 точка (правая вершина); -6,25<m<-2,25 — 2 точки (обе на правой ветви); m=-2,25 — 2 точки на правой ветви и 1 точка (левая вершина) — итого 3 точки; -2,25<m<0 — 2 точки справа и 2 точки слева, итого 4; m=0 — слева ровно 1 точка (x=-5), справа 2 точки (x=-2 и x=3) — итого 3 точки; m>0 — 1 точка слева и 1 справа, итого 2. Ровно три общие точки прямая y=m имеет при m=-2,25 (уровень левой вершины) и при m=0 (уровень «стыка» ветвей). Ответ: m=-2,25; m=0.

m = -2,25; m = 0