Задача №18739

Решите неравенство

$$(4-x)(x^2+x-20)\ge 0.$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители. Корни уравнения $x^2+x-20=0\text{:}$ по теореме Виета $x_1=-5\text{,}$ $x_2=4\text{,}$ поэтому $x^2+x-20=(x+5)(x-4)\text{.}$

Неравенство принимает вид:

$$(4-x)(x+5)(x-4)\ge 0.$$

Заметим, что $4-x=-(x-4)\text{,}$ тогда $(4-x)(x-4)=-(x-4{)}^2\text{,}$ и левая часть равна

$$-(x-4{)}^2(x+5)\ge 0,$$

или, умножив на $-1$ (знак неравенства меняется):

$$(x-4{)}^2(x+5)\le 0.$$

Множитель $(x-4{)}^2\ge 0$ при всех $x\text{.}$ Произведение неотрицательного множителя $(x-4{)}^2$ и $(x+5)$ не превосходит нуля в двух случаях:

• $(x-4{)}^2=0\text{,}$ то есть $x=4$ (тогда всё произведение равно $0$);
• $x+5\le 0\text{,}$ то есть $x\le -5\text{.}$

Проверка: при $x=-6\text{:}$ $(x-4{)}^2=100>0\text{,}$ $(x+5)=-1<0$ — произведение отрицательно ($\le 0$) [OK]; при $x=0\text{:}$ $(x-4{)}^2=16>0\text{,}$ $(x+5)=5>0$ — произведение положительно, не подходит.

Ответ: $x\in (-\infty ;-5]\cup \{4\}\text{.}$