Задача №18728

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 12, а $\mathrm{tg}\angle BCA=0,25\text{.}$ Найдите площадь ромба.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Значит $AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{,}$ а треугольник $BOC$ прямоугольный ($\angle BOC=90^{\circ }$).

Угол $BCA$ — это угол $\angle OCB$ в этом треугольнике. Из определения тангенса:

$$\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{OB}{OC}=\frac{OB}{6}=0,25,$$

откуда $OB=6\cdot 0,25=1,5\text{.}$

Тогда вторая диагональ $BD=2\cdot OB=2\cdot 1,5=3\text{.}$

Площадь ромба через диагонали:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 3=18.$$

Ответ: $18\text{.}$