Задача №18727

Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $CD\text{.}$
Точка $K$ — середина стороны $BC\text{.}$ Докажите, что $DK$ — биссектриса
угла $ADC\text{.}$

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $BC=2CD\text{,}$ $K$ — середина $BC\text{.}$

Доказать: $DK$ — биссектриса угла $ADC\text{.}$

Решение.

1. Так как $K$ — середина стороны $BC\text{,}$ то

2. Значит, треугольник $KCD$ — равнобедренный с основанием $KD\text{.}$ Углы при основании равны:

3. В параллелограмме противоположные стороны параллельны: $BC\parallel AD\text{.}$ Прямая $DK$ — секущая для этих параллельных прямых, а углы $\angle CKD$ и $\angle KDA$ — накрест лежащие при этой секущей. Следовательно,

4. Из пунктов 2 и 3 получаем

то есть луч $DK$ делит угол $ADC$ на два равных угла (луч $DK$ проходит внутри угла $ADC\text{,}$ так как точка $K$ лежит на стороне $BC$ параллелограмма, то есть внутри угла $ADC$).

Значит, $DK$ — биссектриса угла $ADC\text{,}$ что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Доказательство: $KC=CD\text{,}$ поэтому $△KCD$ равнобедренный и $\angle CDK=\angle CKD\text{;}$ из $BC\parallel AD$ имеем $\angle CKD=\angle KDA\text{,}$ значит $\angle CDK=\angle KDA\text{,}$ то есть $DK$ — биссектриса угла $ADC\text{.}$