Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.

Дано: ABCD — параллелограмм, BC = 2CD, K — середина BC. Доказать: DK — биссектриса угла ADC. Решение. Так как K — середина стороны BC, то KC = (1)/(2)BC = (1)/(2)* 2CD = CD. Значит, треугольник KCD — равнобедренный с основанием KD. Углы при основании равны: CDK = CKD. В параллелограмме противоположные стороны параллельны: BC AD. Прямая DK — секущая для этих параллельных прямых, а углы CKD и KDA — накрест лежащие при этой секущей. Следовательно, CKD = KDA. Из пунктов 2 и 3 получаем CDK = KDA, то есть луч DK делит угол ADC на два равных угла (луч DK проходит внутри угла ADC, так как точка K лежит на стороне BC параллелограмма, то есть внутри угла ADC). Значит, DK — биссектриса угла ADC, что и требовалось доказать. Ответ: доказано. Доказательство: KC = CD, поэтому KCD равнобедренный и CDK = CKD; из BC AD имеем CKD = KDA, значит CDK = KDA, то есть DK — биссектриса угла ADC.

Доказательство