О задании

Задание 4 открывает блок теории вероятностей в первой части профильного ЕГЭ по математике. Это самая простая вероятностная задача в варианте, которая проверяет понимание классического определения вероятности и базовых принципов подсчёта исходов.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Базовый.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

Задачи этого номера делятся на три основные группы:
1. Жеребьёвка и случайный выбор - задачи про спортсменов, доклады на конференции, выученные билеты на экзамене.
2. Бракованные детали - поиск вероятности купить исправный насос, работающую лампочку или хорошую тарелку.
3. Игральные кости с условием - задачи, где часть исходов уже отброшена известным условием (например, «известно, что в сумме выпало больше 9 очков»).

Основные формулы

Вся теория для этого задания укладывается в две базовые формулы.

Классическое определение вероятности

P (A) = \frac{m}{n}

где $P (A)$ - вероятность события $A,$
$m$ - число благоприятных исходов (то, что просят найти),
$n$ - общее число всех возможных исходов.

Вероятность противоположного события

Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна единице:

P (A) + P (\overline{A}) = 1 ⟹ P (\overline{A}) = 1 - P (A)

Формулу удобно использовать, когда посчитать «ненужные» варианты быстрее, чем «нужные».

Общий алгоритм решения

Алгоритм решения задания 4

1. Найди $n$ (общее число исходов). Внимательно прочитай условие: сколько всего спортсменов, насосов, билетов или возможных комбинаций кубиков существует в рамках задачи.
2. Найди $m$ (число подходящих исходов). Сколько объектов удовлетворяют условию вопроса.
3. Вычисли дробь $\frac{m}{n} .$
4. Переведи в десятичную дробь. Обязательное условие для тестовой части ЕГЭ.

Примеры решения

Разберём типичные сюжеты от простого к чуть более хитрому.

Пример 1. Жеребьёвка

На соревнования по фигурному катанию заявлено $40$ спортсменов: $12$ из Китая, $8$ из Японии и $20$ из России. Порядок выступлений определяется случайным образом с помощью жеребьёвки. Найдите вероятность того, что спортсмен из Японии будет выступать седьмым.

Показать решение

Главное правило таких задач: порядковый номер выступления не влияет на вероятность. Быть первым, седьмым или последним - шансы абсолютно одинаковы.

1. Общее количество спортсменов (все возможные исходы): $n = 40 .$
2. Количество спортсменов из Японии (благоприятные исходы): $m = 8 .$
3. Считаем вероятность:

P = \frac{8}{40}

Сократим дробь на $8 :$

P = \frac{1}{5} = 0, 2

Ответ: 0,2

Пример 2. Поиск исправных элементов

В партии из $250$ светодиодных ламп в среднем $14$ оказываются бракованными. Покупатель случайным образом выбирает одну лампу. Найдите вероятность того, что выбранная лампа окажется исправной.

Показать решение

Задачу можно решить двумя способами. Покажем более быстрый - через вероятность противоположного события.

1. Сначала найдём вероятность того, что попадётся бракованная лампа.
Всего ламп $n = 250,$ бракованных $m = 14 .$

P (брак) = \frac{14}{250}

Домножим числитель и знаменатель на $4,$ чтобы в знаменателе получилась $1000 :$

P (брак) = \frac{14 \cdot 4}{250 \cdot 4} = \frac{56}{1000} = 0, 056

2. Нас просят найти вероятность того, что лампа исправна. Это противоположное событие.

P (исправна) = 1 - P (брак) = 1 - 0, 056 = 0, 944

Альтернативный путь: Сначала найти количество исправных ламп ( $250 - 14 = 236$ ), а затем разделить на $250 .$ Результат будет тем же.

Ответ: 0,944

Пример 3. Игральные кости с условием

Игральную кость бросают два раза. Известно, что в сумме выпало меньше $6$ очков. Найдите при этом условии вероятность события «произведение выпавших очков равно $4$ ».

Показать решение

Здесь работает та же формула $P = \frac{m}{n},$ но общее число исходов $n$ меняется. Так как нам уже известно, что сумма очков меньше $6,$ мы рассматриваем не все $36$ комбинаций, а только те, которые подходят под это условие.

1. Выпишем все пары бросков, сумма которых равна $2, 3, 4$ или $5 :$

Сумма $2 :$ $(1; 1)$
Сумма $3 :$ $(1; 2),$ $(2; 1)$
Сумма $4 :$ $(1; 3),$ $(2; 2),$ $(3; 1)$
Сумма $5 :$ $(1; 4),$ $(2; 3),$ $(3; 2),$ $(4; 1)$

Считаем их количество: $1 + 2 + 3 + 4 = 10 .$ Значит, наше новое общее количество исходов $n = 10 .$

2. Теперь среди этих $10$ пар ищем те, где произведение очков равно $4 .$
Подходят только пары $(1; 4),$ $(2; 2)$ и $(4; 1) .$
Количество благоприятных исходов $m = 3 .$

3. Находим вероятность:

P = \frac{3}{10} = 0, 3

Ответ: 0,3

Частые ошибки

Магия порядкового номера

Ошибка: Считать, что если спортсмен выступает $15$ -м по счёту из $30,$ то нужно считать вероятность с учётом того, что $14$ мест уже заняты.
Правильно: При жеребьёвке вероятность достать любой конкретный номер одинакова для всех. Просто дели количество нужных людей (или билетов) на общее количество.

Ответ на другой вопрос

Ошибка: В задачах на брак найти вероятность покупки бракованного товара и записать её в ответ, хотя в условии спрашивали про исправный.
Правильно: Всегда перечитывай последнее предложение задачи перед тем, как записать ответ в бланк. Обращай внимание на слова «исправный», «бракованный», «не выучил», «выучил».

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения

Время на задачу: 2–3 минуты.
Очерёдность: Решай сразу, при первом проходе тестовой части.
Самопроверка: Вероятность не может быть больше $1$ или меньше $0 .$ Если у тебя получилось $1, 2$ - дробь перевёрнута.
Проверка на адекватность дроби: Если при делении $\frac{m}{n}$ получается бесконечная периодическая дробь (например, $0, 333...$ ) - ты ошибся в числах или неверно понял условие. В первой части ЕГЭ ответ всегда переводится в конечную десятичную дробь. Исключение - только если в задаче прямо написано «результат округлите до сотых».